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我在学习施密特分解时还是不小心绕了些弯的【谢罪】,现在用简单的话解释一下什么时施密特分解。

用了同一个指标 $i$ 去表示. 对于如上表示的任意态总是可以用两个指标表示的:但是,经过处理,也可以用一个指标去表示:. 只需要令即可。至于用同一个指标i是否意味着这两个子空间的维数必须相同,其实可以不必。

分解的态在各自自空间中是正交归一的。 第一点中使指标统一的做法并不能够使得在B空间中的态是正交的。因此,施密特分解的重点就在于:

我们能不能对上述系数矩阵做特征值分解EigenDeposition呢?经计算,上述矩阵的特征值是:8/5 和 6/5. 因此我们可以得到:

显然,我们得到了类似施密特分解的形式。可见,对于系数矩阵的特征值分解可以成为施密特分解的方法之一。但是,它很有局限性:首先,能够特征值的前提是该系数矩阵是正定阵,即所有的特征值必须大于0,否则得不到上述表达式。其次,这样的分解出的两个自空间的正交基具有相同的形式,比如在A空间是对应的B空间的矢量也是.

如果是形如最开始的例子,. A空间和B空间的基并不具有相同的形式,那么我们应该如何做呢?显然,如果我们仍然对系数矩阵做施密特分解,该系数矩阵不符合“正定”的要求。因此,我们可以扩展到奇异值分解(SingularValueDeposition, SVD)

而对于奇异值分解,我们有:. 它的左矢和右矢不同,正好是我们想要的。其中,右矢是U的本征矢,左矢是V的本征矢。而且U和V都是酉的,而是半正定的对角阵。而且对于奇异值分解而言,我们不需要它是正定的,而且,不需要A是一个方阵。若A是的,那么U是的方阵,V是的方阵,是的对角阵。

显然,可以对进行特征值分解,它是一个的方阵,它的本征值是它的本征矢组成了U矩阵。同理,我们可以计算:

显然,对进行特征值分解,它是一个的方阵,它的本征值也还是。显然,我们可以得到,它最多有n个本征值。它的本征矢组成了V矩阵。因此,我们就得到了奇异值分解的表达式。

系数矩阵,有一个特征值是0,因此无法做特征值分解,但是可以做奇异值分解。奇异值分别是和. 我们可以得到:

正好是我们最开始介绍的样子。值得注意的是,我们通过计算得到的本征值需要开方后才是A的奇异值。然后才能带入后面的式子。

施密特分解只对2bit的态可以做,对于3bit甚至更高都没有施密特分解的形式

但是,施密特分解对于2bit中各个比特的维度没有限制,也就是说1个bit可以去很多的值,子空间的维度任意。而且,两个bit或是两个子空间可以维度不一致。(因为奇异值分解可以对非方阵进行作用)

但是当多个比特是,可以把该态分为两个部分。这两个部分(Bipartite)也有施密特分解的形式。如:. 但是值得注意的是,分开的态不一定是直积态。也因此,不存在多个比特的施密特分解。

虽然,施密特分解是对于系数矩阵做的,但是,它与密度矩阵是有非常深刻的关系的。(在Preskill的讲义中,他没有详细说Schimit分解怎么做,而是说了它与密度矩阵的关系)。 对于可以有2bit的密度矩阵:. 同理,我们还有约化密度矩阵,分别为:

如果我们对上述两个矩阵进行特征值分解,我们会得到n个,而且A和B的约化密度矩阵具有相同的本征值。我们令对应的本征矢为:和。我们可以计算得到:恰好是Schimit分解的形式。同时,我们也可以利用这个结论证明多个bit不存在施密特分解形式,即证明:的本征值不同。这样的例子是很好构造的。

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