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施密特分解我在学习施密特分解时还是不小心绕了些弯的【谢罪】,现在用简单的话解释一下什么时施密特分解。施密特分解Schmidt Decomposition 是处理2bit量子态的一个有效的工具。数学表述…博文来自:前輩的後生的博客

我们介绍线性代数知识的时候,稍微扩展一点,就能演变成一个新的角度。博文来自:老马的程序人生

矩阵分析之QR分解1.定义QR分解法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法,一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵,然后再应用QR方法求特征值和特征向量,在分解过程中利用G…博文来自:Rosun

QR方法是Francis于1961年发表的用于求解所有特征值的算法呢。该算法对对称矩阵和非对称矩阵都适用,都可以分解成正交矩阵Q和上三角矩阵R乘机的形式。但是在实际应用中,需要先进行相似…博文来自:shushi6969的博客

线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了,数学重在理解!给定一组基α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha…博文来自:newworld123made的博客

文章来自:在中学的平面几何或立体几何中,我们常说两个向量的内积为0,则二者是垂直的。因为可以清晰的画出图…博文来自:痞子寇的专栏

n维向量空间RnRnR^n中得出的一组线,a_2,…..a_n 怎么确定一组两两正交的向量?使每一个在原坐标系中向量在新的正交…博文来自:oneslide

我知道怎么用施密特正交化来从一组线性无关的向量组来求出一组正交向量组,单不知那到底有什么用处,谁能告诉我,施密特正交化到底能用来做什么,多谢了,分不够说一声,全给你都行论坛

不管谷歌还是百度,这个关键词搜出来的内容都太学术了,废了点功夫才搞懂这东西有什么用。下面用人话解释一下。结论:  任意给定两个向量V1 V2,就可以两个向量组成的平面为基准,构建三个正交基a b c首…博文来自:zwlstc的博客

QR分解法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法,一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵,然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形…博文来自:Jackerys Special Column

今年,我也32了 ,为了不给大家误导,咨询了猎头、圈内好友,以及年过35岁的几位老程序员……舍了老脸去揭人家伤疤……希望能给大家以帮助,记得帮我点赞哦。目录:你以为的人生 一次又一次的伤害 猎头界的真…博文来自:启舰

本文介绍 MySQL 的体系结构,包括物理结构、逻辑结构以及插件式存储引擎。博文来自:Tony.Dong的专栏

近日闲来无事,总有一种无形的力量萦绕在朕身边,让朕精神涣散,昏昏欲睡。可是,像朕这么有职业操守的社畜怎么能在上班期间睡瞌睡呢,我不禁陷入了沉思。。。。突然旁边的IOS同事问:‘嘿,兄弟,我发现一个网站…博文来自:vio小黑

【前言】收到一封来信,赶上各种事情拖了几日,利用今天要放下工作的时机,做个回复。2020年到了,就以这一封信,作为开年标志吧。【正文】您好,我是一名现在有很多困惑的大二学生。有一些问题想要…博文来自:迂者-贺利坚的专栏

【CSDN编者按】1月2日,阿里巴巴发布《达摩院2020十大科技趋势》,十大科技趋势分别是:人工智能从感知智能向认知智能演进;计算存储一体化突破AI算力瓶颈;工业互联网的超融合;机器间大规模协作成为可…博文来自:CSDN资讯

首先介绍下在本文出现的几个比较重要的概念:函数计算(Function Compute): 函数计算是一个事件驱动的服务,通过函数计算,用户无需管理服务器等运行情况,只需编写代码并上传。函数计算准备计算…博文来自:阿里云云栖号

目录1、导入库文件2、设计GUI3、调用摄像头4、实时图像处理4.1、阈值二值化4.2、边缘检测4.3、轮廓检测4.4、高斯滤波4.5、色彩转换4.6、调节对比度5、退出系统初学OpenCV图像处理的…博文来自:不脱发的程序猿

相信大家时不时听到程序员猝死的消息,但是基本上听不到产品经理猝死的消息,这是为什么呢?我们先百度搜一下:程序员猝死,出现将近700多万条搜索结果:搜索一下:产品经理猝死,只有400万条的搜索结果,从搜…博文来自:曹银飞的专栏

声明:本文以jdk1.8为主!搞定HashMap作为一个Java从业者,面试的时候肯定会被问到过HashMap,因为对于HashMap来说,可以说是Java集合中的精髓了,如果你觉得自己对它掌握的还不…博文来自:编码之外的技术博客

我问了身边10个大佬,总结了他们的学习方法,原来成功都是有迹可循的。博文来自:敖丙

阿里面试,面试官没想到一个ArrayList,我都能跟他扯半小时01-08

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编者按:在接下来的一段时间里,UDACITY 将联合极客公园(ID:geekpark)推出一档视频对话节目。每期节目中,Sebastian Thrun(Google 无人车之父、UDACITY 创始人)都会对一位科技领域内的大咖进行访谈,话题内容涉及人工智能、自动驾驶等多个领域。

本次做客的嘉宾是前谷歌 CEO 埃里克•施密特(Eric Schmidt)。和李飞飞教授不同的是,施密特傲人的成绩不是来自于学术领域,而是作为职业经理人,将谷歌从一家只有数百人的互联网创业公司变成了如今全球市值第二、影响力无法估量的巨头互联网企业。这一切当然离不开两位创始人—拉里·佩奇和谢尔盖·布林的天才想法,但又绝对与施密特超强的管理与运营能力分不开。

Sebastian 与施密特亦师亦友,在谷歌工作期间曾共同推进过许多对行业发展有着深远意义的项目。2016 年,两人共同撰写发表于《财富》杂志的文章,呼吁大家不要对人工智能产生恐惧,鼓励继续开发 AI 技术,找到消除恐惧的解决办法,将人类从盲目、琐碎的工作中解放出来,投身到更有创造性的事情中去。在本期对谈中,除人工智能外,Sebastian 和施密特还畅谈了关于领导力和未来教育的话题。

施密特「治理」下的谷歌始终保持着一种大学研究院的氛围。在他刚加入的时候,谷歌还只是一间 150 人左右的小公司,在那种混乱的情况下,他开始从头建立企业文化,将「不作恶」(Do No Harm; Do No Evil)作为人人可遵守的职业道德准则,并将斯坦福大学那种舒适的科研、生活氛围复制到了谷歌。

访谈中,在聊到关于未来前沿技术的发展趋势时,施密特认为一切尚处于变革开始的阶段。「人工智能等新兴技术带来的负面影响,我们要首先承认问题的存在才能提出更好的解决方法,而不断创新是关键。」施密特如指出,「通用人工智能的到来还要很长一段时间,掌握了 AI 应用能力的人才将会成为市场抢夺的资源。我们应该做出让普通人也能够使用的 AI 工具,更准确、更快速地匹配大众的需求。」

Sebastian 最后问了施密特一个问题,「如果回到 25 岁,你想进行哪方面的创业?」施密特的回答倒也没有出人意料,他说「我想在生物和信息技术这两个领域找找机会」。在他看来,只是单纯的技术迭代会非常快,但一旦加入「人」这个要素,一切都会变得慎之又慎。他认为未来人机交互界面的设计将会变得非常个性化,这些工具将会更契合人类的交流方式,像「电话」这种设备会真正懂你,理解和预测你的需求,让你的生活变得更高效,在朝着这个技术和产品方向前进的过程中,会衍生出很多有意思的新公司。

这期间,施密特和 Sebastian 还聊到了曾共同推进的 Google Glass 项目。「这个产品失败是因为时机不对,出现得太早了。但想法是正确的。」施密特说,「人有眼睛、鼻子、耳朵,你得把所有的信息都输入。我并不知道未来的人机界面会是什么样子的,但我们熟悉的 WIMP 传统界面,即窗口、图标、菜单、下拉菜单,基本是在 20 世纪 70 年代开发的,已经有将近 50 年的历史了,是时候被更人性化的 HMI 取代了。」

极客公园(ID:geekpark)这次邀请到了优达学城中国区总经理周舟,对 Sebastian 和埃里克•施密特的对话内容进行了解读,并就人工智能的商业化、发展前景以及未来教育等相关问题进行了深入讨论。

年摩尔定律还不会失效。在这个阶段,您认为人工智能会有怎样的发展态势?周舟:我们一提到摩尔定律,首先想到的就是终端设备越来越小。想想从计算机时代,从开始的大机房,到现在一个手机就可以成为我们人类的「朋友」,就是因为我们的芯片等技术不断地服从摩尔定律,使其体积越来越小。但是摩尔定律不仅仅只适用于这种硬件技术。我们现在天天谈论的大数据技术,看着是一个很火、很时髦的词汇,但实则并不是工业人员所希望看到的。大数据意味着成本高,时效慢。那么我们如何将非硬件领域的「大」 变「小」,将是未来 5~10 年内最重要的工作。

比如降低神经网络模型的参数量,降低其内存,从而放到更小的设备中。发展技术可以不依赖大数据,利用小数据之间的内在关系就可以训练神经网络模型。数据的大小或者网络参数量的大小不仅仅在空间上有进一步压缩,随之而来的数据和网络模型的传输速度也会进一步提高。未来,我们可以使用更廉价的设备,去运行现在认为很复杂,需要几台电脑操作才能完成的模型。机器也可以像我们人类真正学习一样,通过看到少量的数据,就能认识其实质的联系,无需海量的数据进行训练。

商业化带来的益处?周舟:安防、金融、无人驾驶、医疗、工业制造业都会是未来 AI 商业化带来直接益处的领域。这些领域拥有一些共同的特质,就是在某些分支的子任务,都需要人类进行简单重复的劳动。比如安防,在需要调用监控录像时,往往需要人们同时面对几台摄像机去观察影像数据;或者金融,需要量化分析师不断地观察数据的走势作出相应的分析决策。这些领域往往是现在弱 AI 最擅长的地方,帮助人们解放自己无谓、重复性的劳动,人们可以利用这些节省下来的时间去做更有意义,创造力的事情。

换脸」等应用存在的负面影响?周舟:法律的完善,政府的干预以及媒体的正面引导,唤起使用者的自我保护意识可以大大降低对于 deepfake 等「换脸」 应用的负面影响。

朝着能够增强人类能力、提供工作效率的方向发展?周舟:这需要 AI 科研人员以及商业人士自发意识到有些是比利益更重要的东西。也需要各国的高层领导官员,以及相关法律部门进行联合的一些协商,制定规则,不仅要引导 AI 向提高人们生活质量的方向发展,也需要制定不允许 AI 科技触碰的红线。

周舟:以我们现在的观点,很难想象人工智如何能拥有自己的意识。以目前的人工智能算法原理来说,计算力仍然是计算机最强的一环。也就是说,当今计算机的优势是在于可以「嚣张」 地利用自己的计算能力去学习历史的数据,从中找到其中的规律并预测新的案例。但是一旦某个案例属于一个全新模式,人工智能就毫无办法。也就是说,它就像一个拥有超强记忆力的学生,只能拥有一点点的推断能力。每次考试前复习的时候,并不是寻求知识点的原理,而是拼命地背真题,历年考题,以填鸭的方式复习。人工智能现在就是如此,其不可或缺的就是「真题」,也就是数据。数据越多,「背题」 才会更有效果。因此人工智能还是需要依靠大数据,而人类学习就并非如此。单单从这点来讲,如果人工智能的学习方法上没有改变,即使其发展再好,在逻辑推理上仍然远不如人类,所以也无法取代人类。

有讨论到关于传统企业借助人工智能工具进行数字化转型的问题。您认为 优达学城(Udacity)在帮助传统和新兴企业在数字化转型以及人工智能应用上有何优势?具体有没有案例可以分享?周舟:过去几年以来,优达学城(Udacity)在企业数字化转型方向发力,帮助包括 AT&T、通用电气、PwC 等全球知名传统企业进行数字化转型和人才技能培养。以美国通信巨头 AT&T 为例,AT&T 为谋求企业转型机会,希望重塑成为基于云技术的科技公司,以应对互联网时代的激烈竞争。AT&T 员工平均在职年限超过 12 年,旧技能完全无法匹配企业发展新方向,数十万名员工技能亟待更新再造,同时企业也面临着高科技人才招聘难,现有组织全面优化换血成本高等现实挑战。自 2015 年下半年起至今,AT&T 与优达学城建立合作伙伴关系,组织内部员工系统学习纳米学位课程,由公司人力资源部给与员工学费补贴及奖励。经过三年多的合作,3,000+ AT&T 获得培训的员工掌握了转型所需的核心技能点,企业内部 70% 的新技术岗位空缺也得以成功的通过内部培训转岗的形式获得填充。

极客公园:优达学城(Udacity)最开始是以人工智能切入在线教育市场的。那么 AI

本身的业务/教学模式,比如 Sebastian提到的毕业率和互动率,都起到了哪些良性的作用?周舟:对于在线教育,尤其是职业培训而言,一大难点是如何高效的帮助学员针对其多样化的职业发展目标、自身技术水平、复杂的技能点和应用场景来匹配富有针对性和个性化的学习路径和课程推荐。去年,优达学城(Udacity)针对企业级用户推出了基于人工智能技术的员工技能测评工具,通过多维度、自适应的测试,运用人工智能技术和数据分析帮助企业发现组织技能缺口,为企业日后的技术培训指明发展方向,帮助企业找到最适合其现状的培训课程。未来,我们也有计划将这一测评工具面向更多个人学员开放,帮助学员提升学习效率和成效。

极客公园:针对 Eric Schmidt提到的信息和生物学问题。您认为未来人工智能在生物学、医学领域都有哪些可用武之地?

周舟:人工智能的用武之地非常多。比如基因问题一直是世界最先进的生物科学家想研究的一个课题。各国也组织自己最优秀的科学家长期探索这一领域的新发现,而人工智能技术会推进这一领域的发展。基因信息学的重要性不言而喻。如果知道其中基因的秘密,那么关于人类的起源,控制人类疾病的基因片段,改善人类体制的方法都将会为人类造福。但是这一领域的难点大家也比较熟知。人工智能可以介入在基因序列,这些看似无规则的数据摆在人工智能面前,也许就可以很容易地找到规律。科学家在得到规律后,只需进行验证就行。面对医学,有很多的案例已经帮助医生释放大部分的工作量,比如肺癌细胞阴阳性检测,皮肤癌阶段检测等。这些被代替的工作特点就是单一重复。而单一重复的工作对于人们来说,既浪费时间,也容易疲劳,因此误诊率高。而误诊对于医学上来说又是如此致命。但越是致命,就越能体现人工智能的价值所在。

周舟:目前来说,人工智能在医学领域上的应用还是偏少,其原因在于医学是一个复杂的领域。任何疾病的指标都是判断病状的辅助措施,是一个概率而非确定的事。可以说医学某种程度是一门判断的「艺术」。而且,基于医学的复杂性,对于很多人工智能从业者来说,有很高的门槛。同时,人工智能对于医学从业者来说,同样具有一定的难度。这就需要有更多的人才投入到这一领域中,成为一种桥梁。另外,医学除了需要诊断患者的病状,还有一项重要的任务,就是人文关怀。很多时候,医生需要能够给予患者心理上的辅导及安慰,而人工智能无法做到这一点。换句话说,人工智能想要大规模深入到医学领域中,应该是朝向辅助医生,而非代替医生的方向发展。这一点及其重要。

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如果矩阵不是列满秩的矩阵,如果还想使用施密特正交的方法进行QR的分解,需要对矩阵进行什么处理?

如果矩阵不是列满秩的矩阵,如果还想使用施密特正交的方法进行QR的分解,需要对矩阵进行什么处理?

如果不用householder变换,只用施密特正交变换的话,需要先对矩阵进行什么处理?…

如果不用householder变换,只用施密特正交变换的话,需要先对矩阵进行什么处理?

一般来讲特征向量不能做正交化,注意,是不可以,而不是不需要。 正交化相当于QR分解,A=Q*Λ*Q^{-1}一般是不可能等价于A=(QR)*Λ*(QR)^{-1}。 只有正规矩阵的特征向量才可以做正交化,因为不同特征值对应的特征向量天然地正交,而重特征值的特征向量是否做正交化没什么影响,只不过是相当于选取特征子空间的正交基。

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复合空间的施密特分解是一个比较不直观的过程, 虽然证明起来并不复杂, 但初学者可能会想不通怎么高维度的空间能用低于维度数的基矢分解, 这是本文讨论的一个重点.

初学者可能还会问到: 为什么看证明过程好像随便求和就能自动产生正交的矢量呢? 难道施密特分解这个操作没有运算量吗? 这也是本文讨论的一个重点.

如果教材用的是西安电子科技大学出版的那本量子信息的话可能会对证明过程产生如下疑问:

这又是本文讨论的一个重点, 前面我会给出一个更直观一些的证明, 然后在最后会附上该教科书书上的证明方式, 并非照搬而是会在修改一些用词同时通过引用块的形式在中间解答这些疑惑. 当然没看过这本书的就不用管这部分了.

定理的证明如果用矩阵的奇异值分解定理的话会简单许多, 可以自行了解这里暂不做介绍.

将一个复合系统分成两个子空间, 则复合系统的态矢可以用这两个子空间的基矢展开.

复合系统分成两个子系统, 记分别为空间的任意一组正交归一基. 则空间中任意纯态可以表示为. 下面不妨设空间的维度比较小.

将一个复合系统分成两个子空间, 则复合系统的态矢可以用这两个子空间的基矢展开.

而这本身就是归一的了, 从前面的推到来看就是说的共同本征值是, 这个很容易验证.

在这个具体例子中这一切是显然的,系统当然一定处于态;至于系统, 纵使你空间有一万维我们也能把你任意处于的那个态作为你密度算符的本征态. 在这里是维的情况, 那厄米算符的本征矢应该是完备的啊, 起码三个吧?这是不难理解的, 密度算符也是算符, 而算符的基矢是任意选取的, 这里只是选取了特别合适的一组正交基矢使得密度算符表达为:.

那为什么前面发展到了而这个例子却得到了一个实数呢? 我们来一步步分析看看:

所以真正奇妙的点是, 为何两个系统的密度算符拥有同样的本征值. 以及为何把系统进行本征普分解之后系统也跟着被分解了.

复合系统分成两个子系统, 记分别为空间的任意一组正交归一基. 则空间中任意纯态可以表示为. 下面不妨设空间的维度比较小.

四大力学、固体物理级别的学科都是必须提前自学的. 而这之中量子力学又有他的特殊性: 『1.将来无论干嘛都要用量子力学, 可以说是物理学根基.』 『2.有无穷个表象, 好几个绘景, 一大堆的等价表述. 』 『3.教学有许多切入点, 很难全都顾及到.』 『4.是经典物理向量子物理的一个桥梁, 概念焕然一新.』 所以要学好量子力学, 一个捷径就是开课前自学. 但量子力学有许多(并不复杂但)全新的观点需要接受. 所以就催生了这个面向初学者的专栏.

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内容提示:采用修正的采用修正的Schmidt法的GramGram- -Schmidt法的QRQR分解分解 修正修正GramGram- -SchmidtSchmidt正交化算法正交化算法※※对经典对经典Gram三角矩阵三角矩阵R R的元素不是按列, 而是按行计算时, 舍的元素不是按列, 而是按行计算时, 舍入误差将变小。入误差将变小。Gram- -SchmidtSchmidt正交化法加以修正, 使上正交化法加以修正, 使上※※具体方法:具体方法: a a1 1的标准正交化结果取作的标准正交化结果取作q q1 1( (这一步与经典与经典GramGram- -SchmidtSchmidt正交化法相同正交化法相同) ), 但同时需要从从a a2 2,a ,a3 3, , ……a an n预先减去…

(学习方略)高中化学 1.2.2共价键分子间作用力课时提升卷 苏教版必修2

高考语文试题分类解析汇编:10 《文学常识、文化经典阅读和名句名篇》 Word版含答案

陕西省安康市旬阳县桐木初级中学2014-2015学年七年级语文下学期第一次月考试题(扫描版) 新人教版

重庆外国语学校2014-2015学年八年级语文3月月考试题(扫描版,无答案) 新人教版

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我在学习施密特分解时还是不小心绕了些弯的【谢罪】,现在用简单的话解释一下什么时施密特分解。

用了同一个指标 $i$ 去表示. 对于如上表示的任意态总是可以用两个指标表示的:但是,经过处理,也可以用一个指标去表示:. 只需要令即可。至于用同一个指标i是否意味着这两个子空间的维数必须相同,其实可以不必。

分解的态在各自自空间中是正交归一的。 第一点中使指标统一的做法并不能够使得在B空间中的态是正交的。因此,施密特分解的重点就在于:

我们能不能对上述系数矩阵做特征值分解EigenDeposition呢?经计算,上述矩阵的特征值是:8/5 和 6/5. 因此我们可以得到:

显然,我们得到了类似施密特分解的形式。可见,对于系数矩阵的特征值分解可以成为施密特分解的方法之一。但是,它很有局限性:首先,能够特征值的前提是该系数矩阵是正定阵,即所有的特征值必须大于0,否则得不到上述表达式。其次,这样的分解出的两个自空间的正交基具有相同的形式,比如在A空间是对应的B空间的矢量也是.

如果是形如最开始的例子,. A空间和B空间的基并不具有相同的形式,那么我们应该如何做呢?显然,如果我们仍然对系数矩阵做施密特分解,该系数矩阵不符合“正定”的要求。因此,我们可以扩展到奇异值分解(SingularValueDeposition, SVD)

而对于奇异值分解,我们有:. 它的左矢和右矢不同,正好是我们想要的。其中,右矢是U的本征矢,左矢是V的本征矢。而且U和V都是酉的,而是半正定的对角阵。而且对于奇异值分解而言,我们不需要它是正定的,而且,不需要A是一个方阵。若A是的,那么U是的方阵,V是的方阵,是的对角阵。

显然,可以对进行特征值分解,它是一个的方阵,它的本征值是它的本征矢组成了U矩阵。同理,我们可以计算:

显然,对进行特征值分解,它是一个的方阵,它的本征值也还是。显然,我们可以得到,它最多有n个本征值。它的本征矢组成了V矩阵。因此,我们就得到了奇异值分解的表达式。

系数矩阵,有一个特征值是0,因此无法做特征值分解,但是可以做奇异值分解。奇异值分别是和. 我们可以得到:

正好是我们最开始介绍的样子。值得注意的是,我们通过计算得到的本征值需要开方后才是A的奇异值。然后才能带入后面的式子。

施密特分解只对2bit的态可以做,对于3bit甚至更高都没有施密特分解的形式

但是,施密特分解对于2bit中各个比特的维度没有限制,也就是说1个bit可以去很多的值,子空间的维度任意。而且,两个bit或是两个子空间可以维度不一致。(因为奇异值分解可以对非方阵进行作用)

但是当多个比特是,可以把该态分为两个部分。这两个部分(Bipartite)也有施密特分解的形式。如:. 但是值得注意的是,分开的态不一定是直积态。也因此,不存在多个比特的施密特分解。

虽然,施密特分解是对于系数矩阵做的,但是,它与密度矩阵是有非常深刻的关系的。(在Preskill的讲义中,他没有详细说Schimit分解怎么做,而是说了它与密度矩阵的关系)。 对于可以有2bit的密度矩阵:. 同理,我们还有约化密度矩阵,分别为:

如果我们对上述两个矩阵进行特征值分解,我们会得到n个,而且A和B的约化密度矩阵具有相同的本征值。我们令对应的本征矢为:和。我们可以计算得到:恰好是Schimit分解的形式。同时,我们也可以利用这个结论证明多个bit不存在施密特分解形式,即证明:的本征值不同。这样的例子是很好构造的。

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在晶体的面A0 上施加一外力 P,外力 P 与面A 0 的法线方向相同。由于外力P的作用,晶体中面A s上的原子将发生滑移,受力示意图如下所示。设面As 的法线方向与力P 的夹角为 ,滑移方向与力 P 的方向夹角为θ,则在面As 上此滑移方向上的原子受到的切应力为:T=Pcosθ/As=P/A0cos θ cos

令σ=P /A0,则 Τ=σcos θ cos ,σ即为面A0 受到的正应力。当外力的方向一定时,我们所指定的滑移系(某一滑移面与此面上的一滑移方向组成的系统化即为一滑移系)与此外力的夹角就已确定。

此即为Schmid 定律,1/m为取向因子,或称 Schmid 因子。当 = π / 2 θ时,取向因子有最大值 1/2,此时分切应力最大,此滑移面上的这个滑移方向上的原子处于最有利的取向,也称为软取向。

因此,Schmid定律描述的物理图像即是:启动同类型的滑移系所需的最小切应力应是常数。

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第六章 单晶体塑 性变形 多晶体塑 性变形 塑性变形 单相 多相 本章介绍的内容:由简单到复杂 合金塑性 变形 塑性变形组织 及性能 1 机理 第一节 金属的应力应变曲线 一 工程应力应变曲线 拉伸试验基本过程: GB6397-86制作的标准 拉伸试验基本过程:将GB6397-86制作的标准 试样(长试样l 10d和短试样l=5d l=5d) 试样(长试样l=10d和短试样l=5d)放在拉伸 试验机上缓慢拉伸,试样在载荷P下缓慢伸长, 试验机上缓慢拉伸,试样在载荷P下缓慢伸长, 直至断裂。得到工程应力 应变曲线。 工程应力- 直至断裂。得到工程应力-应变曲线 典型的应力应变-曲线 二 真实应力应变曲线 真实应力应是瞬时载荷P与瞬时面积F 真实应力应是瞬时载荷P与瞬时面积F之比 P S= F 真应变e应是瞬时伸长量除以瞬时长度, 真应变e应是瞬时伸长量除以瞬时长度,即 dl l e = ∫ de = ∫ = ln = ln(l + δ ) l0 l l0 l 5 均匀塑性变形阶段的真应力-真应变曲线, 均匀塑性变形阶段的真应力-真应变曲线,称 流变曲线: 为流变曲线: S = ke n n值越大,变形时的 值越大, 强化效果越明显 6 第二节 单晶体的塑性变形 常温下塑性变形的主要方式:滑移、孪生、 常温下塑性变形的主要方式:滑移、孪生、扭 折。 一 滑移 1 滑移现象 定义:在切应力作用下, 定义:在切应力作用下,晶体的一部分相对于 另一部分沿着一定的晶面( 滑移面) 另一部分沿着一定的晶面 ( 滑移面 ) 和晶向 滑移方向)产生相对位移。 (滑移方向)产生相对位移。 7 特点: 特点:晶体结构类型并未改变 。 滑移的组织形态: 光镜下: 滑移带( 无重现性) 滑移的组织形态 : 光镜下 : 滑移带 ( 无重现性 ) 电境下:滑移线。 电境下:滑移线。 显微组织特点:抛光后可能看不见。 显微组织特点:抛光后可能看不见。 8 9 2 滑移系 滑移是沿着特定的晶面 滑移是沿着特定的晶面 和 晶向进行的。 晶向进行的。 进行的 密排面)滑移方向(密排方向) 滑移面 (密排面)滑移方向(密排方向) 滑移系:一个滑移面和其上的一个滑移方向组 滑移系: 成一个滑移系 10 每一种晶格类型的金属都具有特定的滑移系。 每一种晶格类型的金属都具有特定的滑移系 。 滑移系的多少在一定程度上决定了金属塑性的 好坏。 好坏。 滑移系的个数:( 滑移面个数)× ( 每个面上所 滑移系的个数: 滑移面个数) 具有的滑移方向的个数) 具有的滑移方向的个数) 11 在其他条件相同时, 在其他条件相同时,金属塑性的好坏不只取 决于滑移系的多少, 决于滑移系的多少,还与滑移面原子密排程 度及滑移方向的数目等因素有关 晶体结构 面心立方 滑移面 {111}×4 × {110}×6 × 体心立方 {121}×12 × {123}×24 × {0001}×1 × {1010} {1011} 1120 滑移方向 110×3 × ×2 111 ×1 ×1 ×3 滑移系数目 12 12 12 24 3 3 6 常见金属 Cu,Al,Ni,Au Fe,W,Mo Fe,W Fe Mg,Zn,Ti Mg,Zr,Ti Mg,Ti 12 3 临界分切应力 滑移是在切应力作用下发生的 滑移发生的力学条件: 滑移发生的力学条件: P cos λ P τ= = cos ? cos λ = σ o cos ? cos λ A / cos ? A 13 当外加应力等于屈服强度时: 当外加应力等于屈服强度时: 宏观上:晶体出现塑性变形。 宏观上:晶体出现塑性变形。 微观上: 晶体开始滑移。 微观上 : 晶体开始滑移 。 此时滑移方向上的分 切应力达到临界值,称为临界分切应力 临界分切应力。 切应力达到临界值,称为临界分切应力。 τk:在滑移面上沿滑移方面开始滑移的最小分切 应力。 应力。 τ k = σ s m m = cos? cosλ 14 m称为取向因子,或称施密特因子(Schmid)。 称为取向因子,或称施密特因子(Schmid)。 与塑性变形: 越大,越有利于滑移。 m与塑性变形:m越大,越有利于滑移。 tk的特点 的特点: tk的特点: 临界分切应力的大小主要取决于金属的本性, 1)临界分切应力的大小主要取决于金属的本性 1)临界分切应力的大小主要取决于金属的本性, 与外力无关。当条件一定时, 与外力无关。当条件一定时,各种晶体的临 界分切应力各有其定值 2)是一个组织敏感参数 是一个组织敏感参数。 2)是一个组织敏感参数。 材料的组织性能——临界切应力决定屈服强度) 15 4 滑移时晶体的转动 1)位向和晶面的变化 滑移过程中, 滑移过程中,滑移面和滑移方向的转动必然导 致取向因子的改变。 致取向因子的改变。 2)取向因子的变化 几何硬化 几何软化 16 5 多滑移 单滑移: 1)单滑移:只有一组滑移系处于最有利的取向 最大) 分切应力最大,便进行单系滑移。 (m最大)时,分切应力最大,便进行单系滑移。 多滑移:在多个( 滑移系上同时 同时或 2)多滑移:在多个(2)滑移系上同时或交替 进行的滑移。 进行的滑移。 发生多滑移时会出现几组交叉的滑移带。 发生多滑移时会出现几组交叉的滑移带。 交滑移: 3)交滑移 交滑移:晶体在两个或多个不同滑 移面上沿同一滑移方向进行的滑移。 移面上沿同一滑移方向进行的滑移。 17 多滑移 18 交滑移 19 交滑移和多滑移的区别: 交滑移和多滑移的区别: 发生多滑移时会出现几组交叉的滑移带; 发生多滑移时会出现几组交叉的滑移带;发生 交滑移时会出现曲折或波纹状的滑移带。 交滑移时会出现曲折或波纹状的滑移带。 交滑移必须是纯螺型位错, 交滑移必须是纯螺型位错,因其滑移面不受限 可以同时进行共向滑移。 制。可以同时进行共向滑移。 6 滑移的位错机制 20 21 二 孪生 1 孪生现象 在切应力作用下, 在切应力作用下 , 晶体的一部分相对于另一部 分沿一定的晶面和晶向发生均匀切变并形成晶 体取向的镜面对称关系。 体取向的镜面对称关系。 22 变形部分与未变形部分以孪晶面为准, 变形部分与未变形部分以孪晶面为准,构成镜 面对称,形成孪晶。 面对称,形成孪晶。孪晶在显微镜下呈带状或 透镜状。 透镜状。 2 孪生变形的特点 1 ) 孪生使一部分晶体发生了均匀的切变 , 而 孪生使一部分晶体发生了均匀的切变, 滑移是不均匀的,只集中在一些滑移面上进行。 滑移是不均匀的,只集中在一些滑移面上进行。 2 ) 孪生后晶体变形部分与未变形部分成镜面 对称关系,位向发生变化。 对称关系,位向发生变化。 23 3)孪生比滑移的临界分切应力高,萌发于滑 孪生比滑移的临界分切应力高, 移受阻因其的局部应力集中区。 移受阻因其的局部应力集中区。 4)孪生对塑性变形的贡献比滑移小得多。孪 孪生对塑性变形的贡献比滑移小得多。 生改变了晶体位向 5)由于孪生变形时,局部切变可达较大数量, 由于孪生变形时,局部切变可达较大数量, 所以在变形试样的抛光表面上可以看到浮凸, 所以在变形试样的抛光表面上可以看到浮凸, 经重新抛光后,虽然表面浮凸可以去掉, 经重新抛光后,虽然表面浮凸可以去掉,但因 已变形区的晶体位向不同, 已变形区的晶体位向不同,所以在偏光下或浸 蚀后仍能看到孪晶。 蚀后仍能看到孪晶。而滑移变形后的试样经抛 光后滑移带消失。 光后滑移带消失。 24 第三节 多晶体的塑性变形 多晶体塑性变形的基本方式也是滑移和孪生。 多晶体塑性变形的基本方式也是滑移和孪生。 一、晶粒取向的影响 1 变形过程 25 2 晶粒之间变形的协调性 原因:各晶粒之间变形具有非同时性。 (1)原因:各晶粒之间变形具有非同时性。 要求: 各晶粒之间变形相互协调。 ( 2 ) 要求 : 各晶粒之间变形相互协调 。 独立变形会导致晶体分裂) (独立变形会导致晶体分裂) 条件:独立滑移系3 (3)条件:独立滑移系3~5个。(保证晶 粒形状的自由变化 26 二、晶界的影响 1多晶体变形的现象 2晶粒大小与性能的关系 晶粒越细 , 强度越高 , 塑 性韧性越好。 性韧性越好。 27 1)对强度的影响-细晶强化 对强度的影响- 霍尔-配奇公式: HALL-PETCH公式 霍尔-配奇公式: HALL-PETCH公式 ss=s0+kd-1/2 2)对塑性、韧性的影响 对塑性、 28 第四节 合金的塑性变形 提高强度的另一方法是合金化。 提高强度的另一方法是合金化。合金塑性变形 合金化 的基本方式仍是滑移和孪生,但因组织、 的基本方式仍是滑移和孪生,但因组织、结构 的变化,塑性变形各有特点。 的变化,塑性变形各有特点。 一、固溶体的塑性变形 1 固溶强化现象 29 2 强化机制 1)晶格畸变,阻碍位错运动; 1)晶格畸变,阻碍位错运动; 晶格畸变 2)柯氏气团强化。 柯氏气团强化。 30 二、 屈服和应变时效 1 屈服现象 吕德斯带 吕德斯带扩展 吕德斯带危害: 吕德斯带危害:因屈服 延伸区的不均匀变形( 延伸区的不均匀变形(吕 德斯带) 德斯带)使工件表面粗糙 不同。 不同。 31 2 应变时效 原因:柯氏气团的存在、破坏和重新形成。 原因:柯氏气团的存在、破坏和重新形成。 低碳钢时效图 32 三 多相合金的塑性变形 单相合金的强化:加入第二相形成多相合金。 单相合金的强化:加入第二相形成多相合金。 相变热处理( 第二相可通过相变热处理 沉淀强化, 第二相可通过相变热处理(沉淀强化,时效强 粉末冶金方法(弥散强化) 化)或粉末冶金方法(弥散强化)获得 多相合金根据第二相粒子的尺寸大小分类 聚合型 多相合金 弥散型 第二相很细小,且弥散分 布于基体晶粒内 33 第二相的尺寸与基体晶 粒尺寸属同一数量级 1 聚合型两相合金的变形 性能按下列方法估计 1)两相都具有较好的塑性,合金的变形阻力 两相都具有较好的塑性, 决定于两相的体积分数。 决定于两相的体积分数。 σ =?1σ1 +?2σ2 34 2)软基体+硬第二相合金的性能除与两相的 )软基体+ 相对含量有关外, 相对含量有关外,在很大程度上取决于脆性相 形状和分布。 的形状和分布。 第二相网状分布于晶界(二次渗碳体) 易沿 第二相网状分布于晶界(二次渗碳体),易沿 晶脆断; 晶脆断; 原因:因塑性相晶粒被脆性相包围分割, 原因:因塑性相晶粒被脆性相包围分割,少量 塑变即脆断 35 两相呈层片状分布(珠光体) 两相呈层片状分布(珠光体) 特点:变形主要集中在基体相中, 特点:变形主要集中在基体相中,位错的移动 被限制在很短的距离内, 被限制在很短的距离内,增加了继续变形的阻 使其强度提高。 力,使其强度提高。 片层间距越小,其强度越高 片层间距越小, 第二相呈颗粒状分布(球状渗碳体)。 第二相呈颗粒状分布(球状渗碳体)。 强度降低,塑性、 强度降低,塑性、韧性得到改善 36 二 弥散型合金的塑性变形 1 不可变形微粒的强化作用 位错绕过第二相粒子(粒子、 位错绕过第二相粒子(粒子、位错环阻碍位错 运动) 运动) 位错克服第二粒子的阻碍作 用,克服位错环对位错源的 反向应力。继续变形时必须 增大外应力,从而使流变应 力迅速提高 37 2 可变形微粒的强化作用 当第二相偎可变形微粒时, 当第二相偎可变形微粒时,位错将切过粒子使 其与基体一起变形 38 第五节 冷变形金属的组织与性能 一、对显微组织的影响 1 形成纤维组织 塑性变形量很大时,各晶粒已不能分辨而成为 塑性变形量很大时, 一片如纤维状的条纹,称为纤维组织 一片如纤维状的条纹,称为纤维组织 晶粒拉长; 杂质呈细带状或链状分布。 1)晶粒拉长;2)杂质呈细带状或链状分布。 纤维组织具有明显的各向异性, 纤维组织具有明显的各向异性,纵向的强度和 塑性高于横向。 塑性高于横向。 39 2 形成大量亚结构 40 二 变形织构 1 变形织构 择优取向:塑性变形过程中晶粒的转动, 择优取向 : 塑性变形过程中晶粒的转动 , 使绝 大部分晶粒的某一位向与外力方向趋于一致的 现象 变形织构: 变形织构:多晶体材料由塑性变形导致的各晶 粒呈择优取向的组织。 粒呈择优取向的组织。 特征: 特征:各向异性 41 2 类型 丝织构:某一晶向趋于与拔丝方向平行。(拉 丝织构:某一晶向趋于与拔丝方向平行。(拉 晶向趋于与拔丝方向平行。( 拔时形成) 拔时形成) 板织构: 晶面趋于平行于轧制面, 晶向趋 板织构:某晶面趋于平行于轧制面,某晶向趋 趋于平行于轧制面 于平行于主变形方向。(轧制时形成) 于平行于主变形方向。(轧制时形成) 主变形方向。(轧制时形成 42 3 对性能的影响 不利:造成变形不均匀,制耳。 不利:造成变形不均匀,制耳。 有利:硅钢片100 有利:硅钢片100织构可减少铁损 43 三、残余应力(约占变形功的10%) 残余应力(约占变形功的10% 10 储存能—— 塑性变形中还有约 10% ——塑性变形中 还有约10 储存能 —— 塑性变形中 还有约 10% 的变形功被 保留于金属内部。 保留于金属内部。 第一类残余应力(弹性应变) 1 第一类残余应力(弹性应变) 宏观内应力:由整个物体变形不均匀引起。 宏观内应力:由整个物体变形不均匀引起。 作用: 作用: 表面残留压应力, 表面残留压应力,可显著提高其疲劳强度 44 2 第二类残余应力 微观内应力:由晶粒变形不均匀引起。 微观内应力:由晶粒变形不均匀引起。 作用: 作用:造成显微裂纹并导致工件的破坏 3 第三类残余应力: 第三类残余应力: 点阵畸变:由位错、空位等引起。80-90%。 点阵畸变:由位错、空位等引起。80-90%。 作用:使金属处于热力学不稳定状态, 作用:使金属处于热力学不稳定状态,是 回复和再结晶” “回复和再结晶”的驱动力 45 四 塑性变形对性能的影响 应变硬化(加工硬化) 1 应变硬化(加工硬化) 46 2 加工硬化的作用 对一些不能用热处理强化(固态下无相变) 对一些不能用热处理强化(固态下无相变) 不能用热处理强化 的材料重要强化手段。 的材料重要强化手段。 使塑性变形均匀, 使塑性变形均匀,不致集中在某些局部区域 而引起破裂。 而引起破裂。 加工硬化还可以提高零件或构件在使用中的 安全性。 安全性。 加工硬化使金属在冷加工过程中, 加工硬化使金属在冷加工过程中,变形抗力 会不断增加,增加动力及设备消耗。 会不断增加,增加动力及设备消耗。 47 3 加工硬化曲线)典型的单晶体加工硬化曲线 Ⅰ——易滑移阶段 特点:斜率很小。 Ⅱ——线性硬化阶段。 特点:斜率几乎恒定 且最大值。 第Ⅲ阶段:抛物线)解释:位错的运动 解释: 易滑移阶段:应力低, 易滑移阶段:应力低,少量的软取向滑移系开动 位错受阻碍少,易运动。流变较大。 位错受阻碍少,易运动。流变较大。 线性硬化阶段:多滑移, 线性硬化阶段:多滑移,位错间的交互作用导 致位错交割,塞积等作用,阻碍位错运动, 致位错交割,塞积等作用,阻碍位错运动,加 工硬化率高。 工硬化率高。 抛物线硬化阶段:应力极高, 抛物线硬化阶段:应力极高,位错通过交滑移 绕过障碍,异号位错抵消等,降低位错密度, 绕过障碍,异号位错抵消等,降低位错密度, 加工硬化率下降。 加工硬化率下降。 50 3)不同晶格类型的单晶体加工硬化曲线 面心立方晶体为典型的三阶段加工硬化特征 4)多晶体加工硬化曲线 因其变形中晶界的阻碍作用和晶粒之间的协调 配合要求,其加工硬化曲线通常更陡, 配合要求,其加工硬化曲线通常更陡,加工硬 化速率更高。 化速率更高。 51 52 第六节 聚合物的变形 聚合物的变形特点:强烈地依赖于T 聚合物的变形特点:强烈地依赖于T和t,表现 为弹性材料和黏弹性流体性质 一、热塑性聚合物的应力—应变曲线 热塑性聚合物的应力— 53 Point of elastic limit 弹性极限点 Yielding point 屈服点 Strain softening 应变软化 Y N D B Breaking point 断裂点 σB σY σA A plastic deformation 塑性形变 ?σ σ A E= = ?ε ε A Strain hardening 应变 硬化 O ε A εy εB 非晶态聚合物在玻璃态的应力非晶态聚合物在玻璃态的应力-应变曲线 应力-应变曲线的类型Types stress应力-应变曲线的类型Types of stress-strain curve 软-硬:模量 强-弱:屈服强度 韧-脆:断裂能 55 聚合物具有黏弹性,其应力—应变行为受温度、 聚合物具有黏弹性,其应力—应变行为受温度、 应变速率的影响很大。 应变速率的影响很大。 σ 1 2 3 T 4 5 ε 非晶聚合物不同温度下的σ 非晶聚合物不同温度下的σ-ε曲线 三、剪切带与银纹 1剪切带 聚合物的屈服塑性变形是以剪切滑移的方式进 行的。滑移变形可局限于某一局部区域, 行的。滑移变形可局限于某一局部区域,形成 剪切带 2 银纹 某些聚合物在玻璃态拉伸时, 某些聚合物在玻璃态拉伸时,会出现肉眼可见 的微细凹槽,类似于微小的裂纹。 的微细凹槽,类似于微小的裂纹。因其能反射 光线而看上去银光闪闪,故称之为银纹 银纹。 光线而看上去银光闪闪,故称之为银纹。 59 四、热固性塑料的变形 热固性塑料:刚硬的三维网络结构, 热固性塑料:刚硬的三维网络结构,分子不易 运动 拉伸特点: 拉伸特点:表现出脆性金属或陶瓷一样的变形 特性。 特性。 压缩特点:在压应力下能发生大量的塑性变形。 压缩特点: 在压应力下能发生大量的塑性变形。 60 第七节 陶瓷材料的力学行为 1 前言 陶瓷材料大都是脆性材料, 陶瓷材料大都是脆性材料,对缺陷十分敏 故其强度试验结果的分散性大。 感,故其强度试验结果的分散性大。要使陶瓷 材料作为结构材料在工程中获得应用,需要对 材料作为结构材料在工程中获得应用, 其力学性能做更多的研究, 其力学性能做更多的研究,并对其力学性能的 试验结果做统计分析。 试验结果做统计分析。 61 2 陶瓷材料的弹性模量 除少数几个具有简单的晶体结构, MgO, 除少数几个具有简单的晶体结构,如MgO, KCl, KBr等 在室温下稍具塑性以外, KCl, KBr等,在室温下稍具塑性以外,一般 陶瓷的晶体结构复杂,室温下没有塑性(脆 陶瓷的晶体结构复杂,室温下没有塑性( 性材料)。 性材料)。 脆性材料的拉伸试验——测定其弹性模量和 脆性材料的拉伸试验——测定其弹性模量和 —— 断裂强度。 断裂强度。 62 表13-1 材 料 金刚石 WC TiB2 Al2O3 TiC E/GPa 1200 717 648 510 490 典型陶瓷材料的弹性模量 材 料 W2C MoSi2 BeO FeSi2 ZrC E/GPa 428 380 352 345 345 材 料 E/GPa 345 317 485 455 440 NbC Be2C SiC B4C ZrB2 63 气孔率对陶瓷材料弹性模量的影响 E eff E o (1 ? p ) = (1 + 2.5 p ) 式中E0为无孔隙时陶瓷材料的弹性模量, 式中E0为无孔隙时陶瓷材料的弹性模量, E0为无孔隙时陶瓷材料的弹性模量 p为孔隙率。 为孔隙率。 64 金属与陶瓷材料σ-e曲线

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屈服和蠕变的基础——位错 MA 02139,剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001 年 3 月 22 日 引言 唯象学的处理方法曾在屈服和塑性流动模块(模块 20)中略述过,这些方法对工程预 测是很有用的, 但未对引起屈服的分子机理作深入的剖析。 了解分子机理才能具备更高层次 的洞察力、并对优化材料的工艺调整作出指导。如在“弹性的原子学基础”模块(模块 2) 中所讨论的, 晶体材料中原子排列的高度有序性为解释刚度提供了很好的原子模型。 早期工 作者自然也会寻求用原子学观点来研究屈服过程。 结果发现: 这是一个比预期要深奥得多的 问题,它需要假设一种晶体缺陷——“位错”,以解释观测到的实验结果。 ,位错理论使我 们对晶体材料的屈服机理获得有价值的直觉理解; 该理论还能解释如何通过加入合金成分和 热处理来控制屈服——这是上世纪材料科学的主要成就之一。 理论屈服强度 图1 原子的能量函数和应力函数 屈服时, 各原子沿切向从一个平衡位置滑移到另一个平衡位置。 滑移所需要的力可从结 合能函数求得, 而结合能函数可用非调和曲线来表示, 它是由模块 2 中所述的原子间的引力 和斥力的共同作用而引起的。 使原子离开平衡位置所需的力是能量函数的导数, 在平衡位置 时此力为零(见图 1) 。作为简化的假设,我们用一个调和函数的表达式来近似该力函数, 并写成 1 式中,a 为原子的间距。 在间距的四分之一处, 应力达到最大值; 在间距中点的亚稳定位置, 应力降为零。 过中点之后,
更多精彩尽在这里,详情点击:https://thaichefcasual.com/,勒沃库森队 应力改变符号, 即力将阻挠原子朝新平衡位置的运动。 γ = x a 以 为切应变,最大切应力 τ max 与切变模量 G 的关系为 上式表明:屈服时的切应力 τ max = G 2π ≈ G 10 ,此值在 10GPa 的量级。而 τ max 的各测量 值为 10-100MPa,因此理论值大了二到三个量级。更精确的推导能得出略小的理论屈服应 力值,但仍然比实验观察值大得多。 刃型位错、螺型位错和混合位错 对于晶体材料, 其屈服强度的实验值相对理论值明显偏低, 对该现象的解释分别由泰勒 (Taylor) 、普兰尼(Polyani)和奥罗万(Orowan)在 1934 年独立提出。他们认识到:要使 材料发生塑性变形, 并不需要整个原子面在另一个原子面上滑移 (即同时切断连接原子面的 所有键) 。要切断所有键,所需的应力将很大,如上所述在 G 10 的量级。但实际上并不需 要同时移动所有原子, 仅需每次移动少量原子, 故所需的应力要小得多。 与尺蠖 (一种昆虫) 的移动相类似, 仅某一位错线上方一个平面内的各原子要移动一个原子间距。 这就迫使原先 在那里的原子面进入中间位置,如图 2 所示。结果是,在两个正常平衡位置的正中间,多了 1 一个“额外”的原子面。该原子面的边缘在晶体中形成的线缺陷称为位错 。 图 2 刃型位错 在图 3 中看原子平面的末端, 就能察觉到: 额外的原子面使该原子面附近位错线的上方 形成压缩区;而该原子面附近位错线的下方形成拉伸区。在“软”晶体内,原子间的键比较 弱,由上述原因引起的畸变能延伸到离位错中心有相当距离的远处;与此相反,在有较强键 的“硬”晶体内,畸变限制在离位错中心较近的区域内。像铜和金那样晶体为面心立方结构 (面心立方的英文缩写为 fcc)的金属,有原子排列最密集的原子面(那些面的密勒(Miller) 指数为 (111), ) 与此对应的是: 这些原子面之间的距离比较大, 这使得平面间的键比较 “软” , 1 对晶体位错几何方面的进一步讨论,可参见S.M. Allen and E.L. Thomas, 材料结构 (The Structure of Materials), John Wiley & Sons, New York, 1999. 2 因而位错的宽度较大。而在晶体为体心立方结构(体心立方的英文缩写为 bcc)的金属如铁和 钢中,位错宽度就要小很多,离子键的陶瓷中又要小一些,在共价键的陶瓷中甚至更小。 图 3 位错运动 与该额外原子面相关的位错很容易运动,因为要切断下一个原子面的键,并在原先“额 外”的原子面上重新成键,只需要很小的位置调整。现在第三个原子面是额外的,位错将移 动一个原子间距。若材料中有位错运动,滑移的发生显然要容易得多。初看起来,用位错概 念解释晶体的塑性是再好也不过了, 因为位错处于亚稳的平衡位置, 只要用难以察觉的很小 的力,位错就会向左或右运动。若真是如此,则晶体实质上没有剪切强度。 但是,位错在运动时,还要拖曳它周围晶格中的压缩和拉伸畸变区。伴随着位错运动的 是一种摩擦拖拽,它阻碍位错运动,其阻力称为派尔斯(Peierls)力。此力取决于晶体类型 和温度等因素,对确定材料的屈服应力起着重要作用。如表 1 所示,位错宽度大的材料派尔 斯力小,因为畸变扩展到很大的范围,核心处的畸变就没那么严重了。 表 1 也表明:对位错宽度大的 fcc 材料而言,温度对派尔斯力的影响较小,这使得屈服 应力对温度的依赖性也较小。与此相反,若材料的位错场窄而强,则派尔斯力较大,屈服应 力对温度的敏感性也较大(较高的温度促进了位错运动,使屈服强度降低) 。在这些因素引 起的各种严重后果之中,值得一提的是:在低温下钢有变脆的危险趋势,当温度下降时,屈 服应力能上升到引发脆性断裂那么高的程度。 表 1 位错宽度与材料屈服强度的温度敏感性之间的关系2 材料名称 晶体类型 金属 金属 陶瓷 陶瓷 fcc bcc 离子型 共价型 位错宽度 宽 窄 窄 很窄 派尔斯应力 很小 中等 大 很大 屈服强度的温度敏感性 可忽略 强 强 强 除了如图 3 所示简单的刃型位错外,位错还有其他的几何形式。更为一般的观点是,考 虑“滑移面” acfg 上的部分原子移动了距离 b ,如图 4 所示。矢量 b 也可度量晶体位错的 大小和方向,称为柏克斯(Burgers)矢量。滑移面上滑移与未滑移原子的边界是位错线, 用虚线来表示。在位置 e 处,位错线与柏克斯矢量垂直,所以这两个量同在滑移面上。这种 方式的位错称为刃型位错,位错只限于在位错线和柏克斯矢量确定的滑移面上运动。 2 引自R.W. Hertzberg, 工程材料的变形与断裂力学(Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials) ,John Wiley & Sons, 1976. 3 图4 混合型位错 在位置 b 处, b 点从其起始位置开始,在原子面上环绕位错线的端点作圆形的移动,移 动距离为 b , 从而形成螺旋状的缺陷。 这种缺陷称为螺型位错。 该位错线与柏克斯矢量平行, 这两个量不能像对刃型位错那样确定唯一的滑移面。 因而螺型位错能穿过位错线与另一个易 滑移的原子面交截(或称为交叉滑移) ,该机制使螺型位错能绕过可能以另外的方式阻碍其 运动的障碍。刃型位错更容易被“钉扎”3,因为它们必须通过空位的扩散来“攀移” ,以越 过障碍,如图 5 所示。 当弯曲的位错线从 b 点旋转到 e 点时,位错逐渐从螺型变为刃型。在中点处,位错兼有 刃型和螺型的特征,因此称为混合型位错。 图5 通过空位扩散实现位错攀移 位错控制的屈服 单晶体的滑移择优出现在原子排列最密集的晶面上、沿原子间距最小的方向。一方面, 对于原子排列最密集的晶面,晶面的间距最大,故晶面间的结合最松散;另一方面,若滑移 沿原子间距最小的方向发生, 则应力只需使滑移原子移动最小的距离, 这两者都使滑移所需 的能量最小化。面心立方系统(fcc)中有 12 种这样的择优滑移系,用密勒指数来表示,它 们是{111}面和110方向。单晶体中有 4 个独立且不平行的(111)面,在每个面上有 3 个 独立的[110]方向。 表 2 各种材料单晶体的临界分解切应力 材料名称 晶体类型 3 择优滑移系 τ crss (MPa) “钉扎” (be pinned) :不规则排列的位错部分位于其滑移面上、部分位于非滑移面上。后者是固定的, 前者与后者相连的一端也是固定的 (称为被钉扎) 其余部分仅能绕钉扎端作旋转运动。 , 详见: 钱志屏编著. 材料的变形与断裂.上海.同济大学出版社.1989.第二十三节.——译者注 4 镍 铜 金 银 镁 氯化钠 面心立方 面心立方 面心立方 面心立方 密堆立方 立方 {111} 110 {111} 110 {111} 110 {111} 110 {1101} 001 {110} 110 5.7 0.98 0.90 0.60 0.81 0.75 当滑移面上沿滑移方向的切应力达到临界分解切应力值 τ crss 时, 滑移就发生了。 一些单 晶体材料的 τ crss 实验值如表 2 所列。应用模块 10 中的变换关系,可算出对应于任意应力状 态的分解切应力。在简单的拉伸试验中,通过观察图 6 即可写出 图6 临界的分解切应力 式中,结构因子 m 取决于滑移系的方向,而滑移系的方向又与所加的拉应力有关。于是对 于任意排列的单晶体,屈服应力具有如下形式 。 上式称为“施密特(Schmid)定律” m 为“施密特因数” , 多晶体材料的屈服应力一般比较高, 因为其中许多晶粒的滑移系取向不佳 (施密特因数 大) 。对多晶体系统,式(1) 可修改为 式中, m 是等价的施密特因数,通常它比所有单个晶粒的简单平均值略大些,对于面心立 方和体心立方系统, m ≈ 3 。 位错的应变能 5 图7 螺型位错的切应变 在位错力学中,许多计算问题用能量概念来解决要比用牛顿的力-位移方法更容易。如 图 7 所示,螺型位错的切应变是挠度 b 除以绕位错中心的圆形轨迹的周长: 式中, 为轨迹至位错中心的距离。假设材料为胡克弹性的,则单位体积相应的应变能为 现在,对位错范围内的体积求积分,即得到螺型位错的总应变能: 式中, l 是位错线 是位错中心的半径,中心内的能量可忽略(从数学角度看,中 心内的能量密度无限地增加,但其体积变得很小) 。为得到单位长度的能量,取 l = 1 ,积分 后得, 最后的近似记号应该读作 “约略估计为” 因为界限值 r 是任意选择的, , 所以 ln(r r0 ) ≈ 4π 。 由上式可得出重要结论:位错的能量随着切变模量 G 的增加而线性地增加;且与柏克斯矢 量 b 的平方成正比。对于刃型位错,其单位长度的应变能有类似的表达式,可以证明 式中,ν 是泊松比。 位错能表示该系统总能量的增加,而材料将尽可能地力图消除这种增加。例如,两个符 号相反的位错将相互吸引,因为它们的应变场将倾向于抵消和减小能量。与此相反,两个符 号相同的位错将相互排斥。这种吸引力或排斥力约略估计为 式中, r 是两个位错之间的距离。 6 位错运动和硬化 晶体材料的延展性取决于位错的活动性, 阻碍位错运动的各因素能使材料的屈服强度大 大增加。而增加塑性流动的阻力,也会提高材料的压痕硬度,因而这种强化称为硬化。合金 元素、晶界、甚至位错自身都能产生这种阻力,此类因素为材料工程专家提供了控制屈服的 途径。 对这些重要概念的透彻论述必须留给物理的冶金学科, 但其中的某些概念将在下面的 段落中作简短的介绍。 在驱动的切应力的影响下,当在其滑移面上运动的位错与另一位错交截时,将在第二个 位错中形成“割阶” ,如图 8 所示。 图 8 位错割阶 割阶处那部分位错线不再在其原来的滑移面上,它“钉扎”在某个位置。若位错的密度 大,则这些割阶将强有力地阻碍由位错运动引起的塑性流动。不可思议的是:原先正是位错 促成了塑性流动;而当位错的数量过多时,位错反而能阻碍塑性流动。 图 9 位错弧线 当运动的位错被割阶或其他障碍钉扎后,原先驱动位错的切应力 τ ,现在使障碍间的位 错线段向前弯曲成弧线,相邻线段间的夹角为 φ ,如图 9 所示。弧形的位错线多出的长度表 示位错应变能的增加,若没有切应力,则位错线将变直以减少应变能。位错线和弹性带的作 用相似, “线张力” T 要使位错线回到钉扎点间最短距离的直线路径。对于单位长度的位错 能,其单位为 N-m/m,与简单拉力的单位一样,我们可写出 图 10 位错线 所示,从两钉扎点间位错线段的受力图,得出的力平衡方程为 式中, r 为位错线)中至位错中心的距离) 。整理并消去 d θ 因子, 得 上式已将位错线的曲率以作用在其上的切应力来表示。 可见, 最大切应力就是把位错线弯成 半圆(此时 r 最小)所需的切应力,随后位错将增殖。当位错环相遇时,即在相遇点消毁, 同时在一个圆环内孕育一条新的位错线。此过程可以重复进行,新的位错也不断产生,通过 这一机制,可以增殖大量的位错,如图 11 所示。这就是“弗兰克-瑞德(Frank-Read) ”源, 在塑性变形中,这是使位错增殖的重要方式。位错数量的增加产生了越来越多的缠结,其中 割阶起着“钉扎点”的作用。 图 11 弗兰克-瑞德位错源 用式(5)也可估计位错密度对屈服强度的影响。若钉扎位错运动的障碍是“软”的, 则位错在较低的驱动应力 (对应的临界角 φ c 也较小) 下就能克服这些障碍。 但当障碍变 “硬” 、 即位错运动遇到更多的阻力时,临界角趋近于零,曲率半径变成与障碍间距 L 在同一量级。 于是,克服这些障碍所需的切应力为 当硬障碍是由割阶(其它位错的交截产生割阶)引起时,则障碍间距 L 可用位错密度来 表示。若通过单位面积的位错数为 ρ ,则沿直线运动时遇到的位错数与 之间的距离与 ρ 成正比。位错 ρ 的倒数成正比,故 τ ∝ Gb ρ 。于是屈服应力为以下两部分之和:第一 部分是无干扰位错时、移动位错所需的应力 τ 0 ,第二部分是克服障碍所需的应力,相加后 可写成 式中, A 为常数,对于许多面心立方、体心立方和多晶体金属以及某些离子型晶体,其值 在 0.3 与 0.6 之间变化。上式的实验验证由图 12 提供。 8 图 12 位错密度 ρ 对临界分解切应力的影响 (对单晶和多晶体铜) 4 因此塑性流动的作用是通过弗兰克-瑞德源和其他源形成新的位错,这使材料变得越来 越硬、即对进一步塑性流动的阻力不断增加。最终,对连续的变形过程,屈服应力变得比断 裂应力还要大, 材料将断裂而无法继续变形。 若希望材料能继续工作, 必须减少位错的数量, 比如通过加温退火。退火能使材料恢复(通过空位扩散实现位错攀移,绕过障碍)或再结晶 为无位错的新晶粒。 晶界起着阻碍位错运动的作用,因为毗邻晶粒的滑移系通常不是排成一行的,由这一机 理引起的使屈服强度增加的现象称为晶界强化。 有细密纹理的金属晶界面积大, 因此具有比 纹理粗糙的金属更高的屈服强度。 晶粒大小的影响通常用亨尔-皮脱(Hall-Petch)公式来描述 式中, σ 0 是移动位错所需的点阵摩擦应力, K Y 为常量。该关系式实质上是由经验得出的, 但若把第二项看作与某个应力 (指在不利取向的晶粒上、 激活一个可移动的新位错所需的应 力)有关,就能合理地说明该关系式。 当位错群塞积在原先变形的晶界前面时,其作用很像长度与晶粒大小 d 成比例的裂纹, 如图 13 所示:晶粒越大,塞积的位错越多,虚裂纹越长。因为在长度为 a 的尖锐裂纹前, 应力与 a 成正比5;在包含位错塞积的虚裂纹前,应力的增加也与因子 d 成正比。当该应 力超过形成新位错所需的应力时, 不利取向的晶粒由于位错运动开始变形。 当原来晶粒的尺 寸按比例减小时,该应力也按照 d 1 2 的比例关系减小,这样,金属的强化遵循的就是亨尔- 皮脱关系式。 晶粒的大小取决于金属凝固时晶核形成和生长速率之间的平衡, 而这两者又可 通过外加的冷却速率来控制。这就是材料技术专家采用“加工工艺-结构-性能”控制方法的 重要实例。 4 5 引自T.H. Courtney, 材料的力学行为(Mechanics Behavior of Materials),McGraw-Hill, 1990. 参见模块 16。 9 图 13 晶界上的位错塞积 一个相关的现象可以解释为什么钢琴丝有很高的强度(≈4GPa,或 600kpsi) 。钢琴丝 是共析钢(珠光体) ,它在拉延时要通过一系列使直径变小的模具,最终得到很小的直径。 再在共析温度下冷却钢丝,就可得到“珠光体”结构,这种结构是在晶体为体心立方结构的 铁( “铁素体” )中加入 Fe 3 C ( “渗碳体” )的两相混合物。在拉延过程中,随着直径的缩小, 铁素体晶胞也随之缩小,形成与纹理细密的金属相似的结构。晶界限制了位错运动,从而使 材料达到很高的屈服强度。 固溶体中的杂质原子也能通过阻碍位错运动来硬化晶体材料, 这称为溶体强化。 一个比 主质点阵中的原子还要小的杂质原子, 将在其自身的周围形成近似于球形的拉力场, 该拉力 场将吸引移动位错周围的压缩区; 而另一个较大的杂质原子将会捕获位错周围的拉伸区。 从 平均的意义来说,位错群会与杂质周围不均匀的应变场相结合、以减少自身的应变能。这种 结合阻碍了位错运动、制约了塑性流动、使屈服应力增大。 图 14 马氏体的体心立方结构 对于商品材料, 固溶体的硬化通常不是一种特别有效的强化机制, 主要是因为杂质原子 的溶解度不足以产生数量可观的障碍。一个重要的例外的是铁-碳或钢系统。若含大约 0.8% 共析碳成分的钢,从高于共析温度 723°C 时迅速冷却,则铁的点阵能够捕获碳原子,而且 铁点阵中碳原子的密度,要比正常情况下、晶体为体心立方结构的铁中、碳达到溶解平衡时 的密度大得多(为加强捕获碳原子的倾向,可加入对碳有亲合力的、能减小其扩散能力的合 金元素,如铬和钼) 。为了容纳这些亚稳态的杂质原子,铁的点阵转变成称为马氏体的体心 立方结构(参见图 14) ,并在碳原子的周围形成非球形的强应变场。这种体心立方的畸变极 10 为有效地阻碍了位错运动,使马氏体成为极“硬”的相。在进行金属加工时,锻工定期用水 淬火(也许他们不知其所以然) ,通过生成马氏体的夹杂物来调整材料的硬度。 马氏体是如此的硬而脆,以至于快速淬火后的钢通常必须回火,即加热至 400°C 左右, 并保温约 1 小时。回火使碳扩散、使渗碳体的夹杂物分散、也使存在于马氏体内的位错得以 恢复。 经这样处理的材料要比刚成形时的马氏体钢坚韧得多, 但由于碳化物夹杂物的强化作 用,仍然保持很高的强度。 晶体材料的蠕变动力学 即使应力保持不变,许多材料仍将持续变形, “蠕变”就是用来描述这一倾向的术语。 粘弹性聚合物的蠕变已在模块 19 中讨论过。但在多晶体金属和陶瓷系统中也会发生蠕变, 当温度约高于绝对熔化温度的一半时的蠕变尤为重要。 这种高温蠕变可以在应力小于屈服应 力的情况下发生, 但仍与本模块讨论的位错控制的屈服有关, 因为位错运动常常也是这类蠕 变过程的基础。 在诸如喷气发动机或核反应堆这样的应用场合, 高温蠕变十分重要。 这种蠕变形式通常 由三个不同的阶段组成,如图 15 所示:一期蠕变,在该阶段材料开始硬化,所以蠕变速率 随时间而减小;二期或稳态蠕变,在该阶段硬化和软化机制互相平衡,得到一个恒定的蠕变 速率 ;三期蠕变,在该阶段材料软化,直至蠕变断裂。整个蠕变曲线反映了硬化机理(如 位错塞积)与恢复机理(如位错攀移和交截,它们都增加了位错的活动性)之间的抗衡。 图 15 蠕变的三个阶段 在大多数的应用场合, 材料失效前的大部分时间都是在第二阶段, 因此建模的努力主要 是针对这个阶段的。二期蠕变的速率 通常可用一般的非线性表达式来描述,如下式所示 式中, A 和 m 是可调节的常数、 Ec 是蠕变的表面活化能、 σ 为应力、 R 为气体常数(若 上式称为威特曼-多恩 (Weertman不用摩尔制, 则用玻尔兹曼常数来代替) T 为绝对温度。 、 Dorn)方程。 塑性流动的速率与位错移动的速度直接相关, 要显示位错移动的速度, 可考虑材料的某 一部分:其高为 h 、宽为 L ,如图 16 所示。单个位错沿宽度方向移动全长 L 时,产生的横 向变形为 δ i = b 。如果位错在晶体上只移动了宽度的 xi L 部分,则变形也按同样的比例减 小: δ i = b ( xi L) 。于是晶体的总变形为每个位错对变形的贡献之和: 11 切应变为横向变形与切应变分布的高度之比: Σ i xi 之值可用量 N x 来代替,其中 N 为晶体片段中的位错数、 x 为位错移动的平均距离。 于是上式可写成 式中, ρ = N Lh 为晶体中的位错密度。于是通过求导可得到切应变速率 : 式中, 是位错的平均速度。因此蠕变速率与位错速度成正比。 图 16 位错运动和蠕变速率 为了研究位错速度对温度和应力的依赖关系, 我们把位错克服障碍的移动速度, 看作热 活性的、并借助应力的速率过程的另一个例子,于是可写出蠕变速率的艾林(Eyring)方程6: 式中, V 是表面激活体积。上式右边的第二项表明:对于沿着应力方向的运动,应力使激 活能垒增大;对于与应力反向的运动,应力使激活能垒减小。当我们讨论屈服问题时,应力 已足够大,故与流动反向的位错运动可以忽略不计。但此处我们感兴趣的是:在较小的应力 和高温下发生的蠕变,所以必须考虑反向流动。对上式进行因式分解得, 因为 σV RT ,在级数展开式 e = 1 + x + ( x 2!) + ( x 3!) + …中,我们可以忽略二次 x 2 3 项和更高次的项,得到 与温度对指数项本身的强烈影响相比, 我们可忽略温度对指数项前因子的影响, 于是该模型 6 参见模块 20 式(4)——译者注 12 预测的蠕变速率与威特曼-多恩方程中取 m = 1 的情况相一致。 虽然以上推导的特定方程中包含的近似条件仅在较高温度下才能满足, 但是从绝对零度 到熔点的整个温度范围内, 都会发生由位错滑移而引起的蠕变。 驱动位错滑移所需的应力在 理论剪切强度 G 10 的十分之一的量级。应力较小时,蠕变速率也较慢,而且受到位错攀移 (通过空位扩散越过障碍)速率的限制。图 17 给我们的提示是:蠕变活化能与自身扩散的 活化能有相似之处(注意:这些数值也与模块 2 所述的结合能函数表明的牢固度有关,即扩 散在键结合更牢固的点阵中受阻) 。空位扩散是另一种借助应力且热激活的速率过程 ,可再 次得出与威特曼-多恩方程相一致的模型。 图 17 扩散活化能和蠕变活化能的关系 习题 1 用晶粒大小不同的钢试样和铝试样测得的屈服应力 σ Y 如下表所示: (a)对这两种材料,求亨尔-皮脱关系式(式(7) )中的系数 σ 0 和 kY 。 (b)若晶粒大小为 d = 30 ,求每种材料的屈服应力。 13

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施密特正交化(Schmidt orthogonalization)是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,这种方法称为施密特正交化。

线性无关向量组未必是正交向量组,但正交向量组又是重要的,因此现在就有一个问题:能否从一个线性无关向量组

呢?回答是肯定的,通过施密特正交化方法就可以实现。下面就来介绍这个方法,由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,所以,上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组,我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。
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上述所说明的利用线性无关向量组,构造出一个标准正交向量组的方法,就是施密特正交化方法。

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